Die Sinus-Funktion hat eine Periode von 2*Pi, nimmt bei 0 den Wert 0, bei 0,5*Pi ihr Maximum, und bei 1,5*Pi ihr Minimum an, mit Werten zwischen 1 und -1.

a) Damit variiert die Funktion f(t) zwischen 4*(-1) + 12 = 8 und
4*1 + 12 = 16 (Sonnenstunden pro Tag).
Deren Periode beträgt 365 (Tage).
Die größte Tageslänge wird erreicht, wenn das Argument des Sinus' den Wert 0,5*Pi annimmt, d.h. bei t = 365/4 + 80 = 91,25 + 80 = 171,25.
Die kleinste Tageslänge wird erreicht, wenn das Argument von Sinus den Wert 1,5*Pi annimmt, d.h. bei t = 3*365/4 + 80 = 273,75 + 80 = 353,75.

b) Der 10-Stundentag wird erreicht, wenn der Sinus den Wert -0,5 annimmt. Dies ist bei -1/6*Pi bzw. 7*Pi/6 der Fall, d.h. für t = -365/12 + 80 = 50 + 5/12,
bzw. 7*365/12 + 80 = 292 + 11/12

c) Die Ableitung von f ist: f'(t) = 4*2*Pi/365*cos(2*Pi/365*(t - 80))
Der Cosinus nimmt bei 0 sein Maximum, bzw. bei Pi sein Minimum, an, d.h. dass die Rate für t = 80 bzw. t = 365/2 + 80 = 262,5 am größten ist.
Der Tag wächst dann um 4*sin(2*Pi/365)*60 Minuten (ca. 4 Minuten).

PS: Bei den "unrunden" Ergebnissen, durch Einsetzen testen, ob der Tag davor oder danach der gesuchte ist.