Original von Tuxi
so funktioniert Mathe nun mal. Alles beginnt mit einer Definition, dann folgt ein Satz(Logik), beide sind idR. auch noch austauschbar. Selbst die natürlichen Zahlen sind definiert. Das ist ja grad das geile an der Mathematik. "Alle" nehmen es als das Gesetz hin, aber es ist alles nur definiert. Und nun das Beste: es funktioniert:twisted:
Schon den "Gödelschen Beweis" gelesen? :twisted:

Gödel lieferte mit seinen Unvollständigkeitssätzen den Beweis dafür, dass Mathematik unvollständig ist. Diese Entdeckung Gödels ging als eines der elementarsten Schockerlebnisse in die Wissenschaftsgeschichte des zwanzigsten Jahrhunderts ein. Dies war durchaus vergleichbar mit der Erschütterung, die die Einsteinsche Relativitätstheorie in der Physik hervorgerufen hat. Der Gödelsche Beweis widerlegte eine These von dem konsistenten Charakter der Mathematik.

Ausgangspunkt von Gödels Arbeit war das logische System der Principia Mathematica von Russel. Die Gödelschen Theoreme gehen über dieses System hinaus. Sie zeigen Metamathematisch, dass für jede hinreichend starke Theorie, wie die Arithmetik der natürlichen Zahlen, es unmöglich ist die Widerspruchsfreiheit dieser Theorie zu beweisen (2. Unvollständigkeitstheorem von Gödel).

Der 2. Gödelsche Unvollständigkeitssatz lässt einen ganz klaren Schluss für die Metamathematik zu: es gibt keine vollständige Axiomatisierung der Arithmetik! Gödel widerlegte in direkter Weise die Grundannahme von der Konsistenz der Arithmetik.

Was das Gödelsche Theorem im Endeffekt widerlegt hat, ist ein bestimmtes metamathematisch-philosophisches Programm, nämlich der sogenannte Logizismus: die Annahme, dass eine formal-logische Sprache existiert, in der genau jeder wahre mathematische Satzals Theorem abgeleitet werden kann.


Umgekehrt folgt daraus jedoch keineswegs, dass die Mathematik in irgend einer Form ungenau oder widersprüchlich ist: der formale Aufbau mathematischer Theorien (der von Frege, Russell und Hilbert entwickelt wurde) funktioniert perfekt.


Daher meinen obigen Einwand, dass für einen Beweisversuch einer Logik mit Hilfe einer Definition, wobei die besagte Logik der Ausgangsdefinition selbst entspringt, die Wiederspruchsfreiheit nicht beweisbar ist.