So, ihr habt mich auch überzeugt.

Ich habe es jetzt aktiviert und bin dabei nacheinander wie folgt vorgegangen:

1. Überprüfung der vorhandenen Geräte
Ich habe auf der Apple-ID-Website nachgeschaut, ob alle meine Geräte korrekt meiner Apple-ID zugeordnet sind:
https://appleid.apple.com/de

Da war ok. Alle meine aktuellen Geräte (iPhone, iPad, Mac mini und MacBook) sind unter "Geräte" aufgelistet.

2. Aktivierung iPhone
Wie in der Anleitung beschrieben, habe ich folgende Schritte durchgeführt:

Bei einem iPhone, iPad oder iPod touch mit iOS 9 oder neuer:

Wählen Sie "Einstellungen" > "iCloud" > tippen Sie auf Ihre Apple-ID.
Tippen Sie auf "Passwort & Sicherheit".
Tippen Sie auf "Zwei-Faktor-Authentifizierung aktivieren".

3. Aktivierung iPad

siehe 2.

4. Aktivierung Mac mini
Wie in der Anleitung beschrieben, habe ich folgende Schritte durchgeführt:

Bei einem Mac mit OS X El Capitan oder neuer:

Wählen Sie im Menü "Apple" () > "Systemeinstellungen" > "iCloud" > "Account-Details".
Klicken Sie auf "Sicherheit".
Klicken Sie auf "Zwei-Faktor-Authentifizierung aktivieren".

5. Aktivierung MacBook

siehe 4.

Das hat alles problemlos funktioniert.

Aufpassen solltet ihr, falls ihr bereits die "Zweistufige Bestätigung" aktiviert hattet. Dann solltet ihr vorher die entsprechenden Hinweise auf der Apple-Website beachten.