Die Versicherungen verlangen in der Regel das Original um sicher zu gehen, dass der Geschädigte einen Schaden nicht mittels Kopie mehrmals abrechnet. Häufig haben die Versicherer wohl mittlerweile auf papierlose interne Kommunikation umgestellt, so dass Originale wohl mal "untergehen" oder vernichtet werden. Habe ich bei meiner privaten KV auch schon erlebt.
Ich bin aber Mythbusters Meinung, dass die Rechnung bis zur Regulierung dein Eigentum bleibt und du einen Anspruch auf Rückgabe für den Fall der Nichtregulierung hast. Das nutzt dir natürlich wenig, wenn sich die Versicherung quer stellt. Hast du keinen Versicherungsvetreter, der dir hier in der Kommunikation helfen kann? Ansonsten bleibt dir wohl nur das Original einzuschicken, eine Kopie zu behalten und die Versicherung nach Abschluss der Sache sofort zu kündigen.