Hallo Manfred.

Original von uhrenmahoLaut Mietvertrag hat er wörtlich ein Nutzungsrecht an dieser Waschküche. Dieses Nutzungsrecht hat er mit Entfernen seiner beiden Geräte freiwillig aufgegeben.
Also der Mieter hat definitiv nicht das Nutzungsrecht am der Waschküche mit der Entfernung seiner Geräte aufgegeben. Es gilt was im Mietvertrag verankert ist und dort steht, wie Du selber schreibst, dass er das Nutzungsrecht an der Waschküche hat. Er hat also das Recht die Waschküche nutzen zu können auch wenn er dort keine Maschinen etc. mehr hat. Somit hast Du ihm auch die Schlüssel auszuhändigen.

Als Beispiel könnte man einen Tiefgaragenstellplatz nehmen den jemand gemietet hat. Nur weil dieser sein Auto verkauft und den Stellplatz aus diesem Grunde nicht mehr nutzt, dürfen die anderen Mieter auch nich den Schlüssel zur Garage austauschen!

P.S.
Rechtsfragen sollten in einem öffentlichen Forum immer allgemein gehalten werden. Z.B. sollte man schreiben "Mieter A hat das Schloss der Waschküche ausgetauscht da Mieter B ...." sonst könnte es für die Forenbetreiber eine Abmahung geben.