Sorry erst jetzt gesehen.

Zum surfen sollte Deinem Router der DNS sche** egal sein, wichtig ist, das Dein Rechner den DNS kennt. Die Anfragen an den DNS gehen dann über Deinen Gateway (das ist Dein Router) zu DNS.

Wenn Dein Router Zusatzfunktionen unterstützt und dafür ohne Dein Zutun mit dem Netz kommunizieren muss, sollte er auch einen automatischen oder einen manuellen DNS Eintrag haben, aber wie gesagt, zum Surfen ist es egal.