Das gesuchte Gerät ist ein Sprühextraktionssauger.
Für private Anwendungen ist z.B. der Kärcher 4002 SE ein guter Allrounder (kann auch sehr gut trocken saugen, ohne sprühen,) und besitzt die Handdüse für Autositze und Matratzen im Lieferumfang.
Wenn es viel, oft und lang und somit für gewerbliche Anwendungen sein soll, dann einen z.B. Kärcher Puzzi (kommt zeitnah auch mit Akku).
Alle Geräte gibt es natürlich auch von anderen Herstellern, mit unterschiedlichen P/L Verhältnis und Wirkungsgrad.

Wichtig bei Allen, auch wenn es aufwendig ist. Die Geräte immer gut reinigen nach dem Einsatz.